Как разложить определитель по строке или столбцу

Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду. Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

- разложение по i-той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

- разложение по j-той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3. Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Сделаем ноль вместо элемента a₄₃=9. Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3.
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a₁₃ = 3 в столбце № 3. Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.

Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1. Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2, и результат запишем в столбце №3, от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a₁₂=4. Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4. Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.

Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3, то и весь определитель увеличится в 3. А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 3.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a₁₁ = 3 в строке № 1. Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этой строкой.

Видим, что у нас остался один определитель второго порядка.

Найдем определитель по формуле: a₁₁×a₂₂ - a₂₁×a₁₂.

det(A)=3·(-14)·(-13)-(-6)·(-2)=510